Area Under the Curve

 

La Integral Definida: Área bajo la Curva

En la presentación adjunta se presenta el tema de la integral como área bajo la curva y se resuelven algunos ejemplos.

Esperamos que sea de utilidad.

Saludos.

Exercise 2.1. Area Under the Curve

 

Ejercicio 2.1. Área Bajo la Curva

La práctica es la mejor forma de aprender matemáticas; en este ejercicio se practica el cálculo de áreas bajo la curva, poniendo especial atención a la necesidad de trazar la gráfica para identificar áreas positivas y negativas.

Esperamos que sea de utilidad.

Saludos.

Integral: Area Under the Curve

 

Integral: Área Bajo la Curva

Una de las aplicaciones más comunes de la integral es el cálculo de áreas para las que no se dispone de fórmulas geométricas, específicamente cuando uno o más de sus lados son curvas.

En la siguiente presentación se explica el procedimiento para determinar el área bajo la curva mediante integración.

Esperamos que sea de utilidad.

Saludos.

The Definite Integral 01

 

La Integral Definida 01

EL cálculo de áreas es un tema que ha sido abordado y resuelto por diferentes culturas desde hace miles de años, siempre que los límites de las figuras fueran líneas rectas.

Cuando alguno de los límites del área que se desea calcular es una curva, el procedimiento no resulta tan sencillo.

En la siguiente presentación se explica, paso a paso, el procedimiento para determinar el área limitada por el eje equis, una curva, y dos rectas verticales en valores específicos de equis.

Esperamos que sea de utilidad.

Saludos.

Area Under the Curve: Feedback and Explanation

Área bajo la curva: Retroalimentación y explicación.

Para calcular el área bajo la curva es indispensable determinar si existen partes de dicha área que se encuentran debajo del eje equis, ya que en tal caso se obtendría un área negativa introduciendo un error en la integral o cualquier otro método que se utilice para dicho cálculo. Este tema fue abordado en una explicación previa que se encuentra en el enlace siguiente:

http://licmata-math.blogspot.com/2020/03/area-under-curve-part-2.html

Procedimiento de solución problema 1 del ejercicio 2.1. Área bajo la curva.

1. Leer el ejercicio e interpretarlo:
            Determina el área bajo la curva: y = x^2 - 2x + 1 + NL entre: x1 = 0 y x2 = 3

            Considerando que el número de lista del alumno es 27 la ecuación queda:
                                                             y = x^2 - 2x + 28

2. Determinar si, dentro del intervalo indicado (x1 = 0, x2 = 3) exite una solución de la ecuación.

Vamos a buscar las raíces de la ecuación, ya que en caso de que dicha raíz esté entre 1 y 3       tendríamos que considerar áreas positivas y negativas. Ppodemos utilizar cualquier calculadora o software para resolver la ecuación.

Empleando la hoja de cálculo que se proporcionó nos encontramos con que la ecuación no tiene soluciones reales.

Si utilizamos cualquier otra herramiemta tecnológica como calculadoras o programas de cómputo nos arroja un resultado en números complejos:
                              x1 = 1 - 5.1962i
                              x2 = 1 + 5.1962i
Sin importar la herramienta empleada el significado es el mismo, la curva no corta al eje equis en ningún punto, para estar seguros trazamos la gráfica con cualquier herramienta; aplicaciones de celular, programas de cómputo, o sencillamente tabulamos unos pocos puntos, o puede usarse el archivo que se proporciónó anteriormente y se encuentra en:

http://licmata-math.blogspot.com/2020/03/use-of-technology-in-education-01.html

En este caso, y dado que de ahora en adelante contaremos con esta herramienta vamos a utilizar el programa que resuelve y grafica ecuaciones de segundo grado y obtenemos la gráfica:

Tal como lo comentamos anteriormente, la curva no toca al eje equis, por lo tanto, el área se calculará directamente, sin necesidad de considerar áreas de signo negativo.

3. Determinar el área por el método indicado en el problema.

Aplicando la integral con una calculadora ciencífica se obtiene:

4. Obtener las áreas por el método de rectángulos empleando Excel para facilitar la operatividad.

Esperamos que sea de utilidad.

Saludos.

Area Under the Curve (Part 2)

Area bajo la Curva, Segunda Parte

En una publicacipon anterior, que se encuentra en el enlace siguiente:

http://proc-industriales.blogspot.com/2020/03/area-under-curve-part-1.html

Se explicó el procedimiento para obtener el átrea bajo la curva de una función que, en el intervalo que se desea calcular el área, está siempre por encima del eje equis, por lo que el área es positiva.

En clase obtuvimos el área mediante la calculadora, el resultado es el mismo que con el software Microsoft Mathematics.

El ejemplo que se resolvió en el pizarrón muestra el error que se genera cuando alguna parte del área se encuentra por encima del eje equis y otra, por debajo, ya que las áreas debajo del eje equis son negativas de modo que se restan del área positiva y se obtiene un resultado incorrecto.

El ejercicio consiste en:

Al resolverlo directamente nos encontramos con el resultado mostrado en el pizarrón y ahora obtenido mediante Microsoft Mathematics.

Y se explica que, para evitar cometer este error, es necesario identificar los puntos donde la curva corta al eje equis, en el ejemplo, uno de estos puntos se encuentra dentro del intervalo de integración, específicamente es el valor x = 1.53208888

En las gráficas se observan las dos áreas:

Negativa entre 1 y 1.53208888
Positiva entre 1.5320888 y 4

Estas dos integrales se resuelve por separado y se sus resultados se suman:

Este último valor es el resultado correcto de la integración.

Esperamos que sea de utilidad.

Saludos.

PD Si se desea acceder a la presentación del primer ejemplo puede emplearse el código QR.

Solving Integral Calculus Easily.

Resolviendo problemas de integración fácilmente.

Las fórmulas o reglas de integración deben ser entendidas como reglas de aplicación, es decir, al observar una fórmula de integración debemos tomar en cuenta la estructura general de la fórmula, cuáles componentes deben aparecer y en que orden, para decidir si es problema que estamos revisando puede ser resuelto mediante una determinada fórmula.

En este ejemplo se explica detalladamente el proceso de identificación y resolución del problema:

Como podemos observar, la expresión que se va a integrar no tiene la estructura de la fórmula que deseamos aplicar, por lo que es necesario emplear algunas propiedades algebraicas para acomodar los componentes de la expresión original y resolverla con la fórmula que se indica.

El proceso completo se encuentra en la siguiente presentación.

Esperamos que sea de utilidad.

Saludos.

Solving Integral Calculus Easily 5 from Matematica de Samos