Las ecuaciones paramétricas son, sencillamente, otra forma de representar funciones, por lo que pueden obtenerse sus derivadas así como las aplicaciones de dicha herramienta matemática.
El siguiente ejercicio contiene 5 problemas que deberán resolverse y entregarse conforme se indica en la plataforma Moodle.
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La importancia del cálculo diferencial radica en sus aplicaciones, la siguiente presentación contiene una explicación paso a paso del procedimiento de modelado que se aplica para la resolución de problemas de máximos y mínimos relativos.
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Ejercicio que contiene problemas acerca de la aproximación numérica de la pendiente de la recta tangente, el método de los 4 pasos, y fórmulas de derivación.
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Uno de los personajes más reconocidos por sus aportaciones a la matemática es Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci. Fue considerado el mejor matemático occidental de la edad media, se le reconoce especialmente haber introducido la numeración indoarábiga a occidente.
Uno de sus problemas más conocidos es el que da lugar a la sucesión de Fibonacci y a la razón áurea, que ganó notoriedad especialmente desde la publicación del libro de Luca Pacioli; "La Divina Proporción".
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Con la finalidad de resolver los problemas acerca del método de los 4 pasos, ordenadamente, se recomienda el uso del Formato 2.2 que se anexa a continuación.
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En la primera parte de esta explicación se abordó el método de cilindros para el cálculo de volúmenes de sólidos de revolución.
En esta publicación se explica el método de arandelas.
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El documento adjunto contiene un problema resuelto en el Formato 2.1, con la finalidad de orientar el trabajo del alumno y mostrar la forma en que se emplea dicho formato.
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El cálculo es una herramienta matemática que permite resolver problemas con gran facilidad, en esta presentación se explica el procedimiento para determinar el volumen de sólidos de revolución por el método de discos o cilindros.
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Un antiguo problema tratado por diferentes matemáticos en diferentes épocas es la obtención de la recta tangente a la curva en un punto dado.
En la presentación adjunta se explica el procedimiento para determinar la pendiente y la ecuación de la recta tangente.
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EL cálculo de áreas es un tema que ha sido abordado y resuelto por diferentes culturas desde hace miles de años, siempre que los límites de las figuras fueran líneas rectas.
Cuando alguno de los límites del área que se desea calcular es una curva, el procedimiento no resulta tan sencillo.
En la siguiente presentación se explica, paso a paso, el procedimiento para determinar el área limitada por el eje equis, una curva, y dos rectas verticales en valores específicos de equis.
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La obtención de límites cuando se presentan dificultades aritméticas pueden resolverse mediante métodos de aproximación numérica o a través de artificios algebraicos.
El siguiente ejercicio contiene 5 problemas; dos de ellos para resolverse numéricamente y los otros tres mediante procesos algebraicos.
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Este formato...
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La matemática se aprende haciendo matemática, por ello, es indispensable que el alumno resuelva ejercicios cuidadosamente diseñados para que desarrolle y/o demuestre su competencia.
El siguiente documento contiene 8 problemas de integrales indefinidas que servirán para identificar la fórmula y/o estrategia que mejor conviene a cada uno de ellos.
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La resolución de sistemas de ecuaciones lineales con tres o más incógnitas puede realizarse mediante la aplicación de diferentes métodos, uno de ellos es el Método de Cramer o por determinantes.
Aunque su aplicación manual requiere de numerosas operaciones aritméticas y, por ello, no se le considera práctico, si se emplea una hoja de cálculo se vuelve muy sencillo.
La siguiente presentación contiene la explicación del método de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
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Las fórmulas de integración se aplican con base en las características del integrando, la fórmula identificada como número 5 en el formulario de matemáticas básicas requiere que se cumplan las condiciones señaladas en la presentación adjunta.
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El uso de Excel para graficar funciones presenta, desde luego, algunas desventajas. Sin embargo, el hecho de que este software se encuentra en prácticamente cualquier organización lo hace accesible para cualquiera, además, a diferencia de otros programas diseñados especialmente para graficar funciones, Excel será utilizado durante el ejercicio profesional del egresado de ingeniería.
EL siguiente documento explica el procedimiento que debe seguirse para trazar gráficas matemáticas en Excel.
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El estudio de las funciones con solamente una variable independiente es conocido por los estudiantes desde su educación media, por ello, es un buen punto de partida para iniciar el trabajo con funciones de dos o más variables independientes.
La presentación adjunta contiene un breve repaso de las funciones en una variable como introducción a las funciones multivariadas.
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Las operaciones que estudiamos desde la educación básica tienen una operación inversa; la sustracción es la inversa de la adición, la división es la inversa de la multiplicación, y así muchas otras operaciones.
Una pregunta que surge de manera natural es, ¿existe la operación inversa de la derivada?
En la siguiente presentación se aborda el tema a partir de algunos ejemplos.
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La Teoría de Límites es la respuesta a los cuestionamientos que, en un principio, sufrió el cálculo diferencial por el uso de infinitésimos sin un buena fundamento de los mismos. Es la base del cálculo diferencial e integral.
La siguiente actividad tiene la finalidad de introducir este concepto a partir de una situación práctica pasando posteriormente al concepto matemático.
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El manejo de un curso de matemáticas avanzadas requiere de la puesta en operación de técnicas didácticas y modelos educativos que permitan mostrar las aplicaciones de estas matemáticas.
Aunque es verdad que son matemáticas complejas, es posible desarrollar el curso a partir de un acercamiento empírico que las vuelva accesibles.
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Este interesante artículo toma como base para sus argumentos el conocido informe "Igualdad de Oportunidades Educativas" publicado por J Coleman en 1965.
En dicho artículo se afirma que la escuela aporta poco al aprendizaje de sus estudiantes (no más del 10%), y que las diferencias de desempeño académico se podían explicar por el origen social y económico de las familias.
Algunas líneas más adelante afirma:
“A la luz de los acontecimientos en todo el mundo debido a la pandemia, parece ser que, la educación no necesita una escuela ni el aprendizaje necesita un aula”
El artículo completo puede encontrarse en el siguiente enlace:
https://observatorio.tec.mx/edu-bits-blog/la-escuela-ha-muerto-viva-la-escuela
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El desarrollo del concepto de derivada pasó por diversas etapas; desde estrategias de solución a problemas conocidos mediante técnicas empíricas con poca o nula formalidad, hasta la teoría de límites, que permitió formalizar estas técnicas y constituir así el mayor logro científico de toda la historia, plantear y validar un modelo explicativo de funcionamiento del universo.
En estos ejercicios se aplican los conceptos de la teoría de límites para la obtención de pendientes de rectas tangentes que son, sencillamente, derivadas.
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La evaluación del desempeño en matemáticas, como en muchas otras asignaturas es un proceso complejo y que requiere de la mayor atención y cuidado por parte del profesor.
Este ejercicio contiene cuatro problemas acerca de aplicaciones de la derivada que permitirán al alumno demostrar su competencias en los temas estudiado en clase, por ello se indica el requerimiento de utilizar el Formato 3.1 para la resolución y presentación de su trabajo.
El Formato se encuentra en el enlace siguiente:
http://proc-industriales.blogspot.com/2021/08/template-31-applications-of-derivative.html
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Desde hace décadas se ha estado hablando del impacto que las tecnologías de la información y comunicación tienen en los procesos educativos de todos los niveles escolares, no obstante, nunca se habían desarrollado tantos ensayos de esta propuesta hasta que las condiciones de aislamiento impuestas por la pandemia obligaron a las instituciones educativas de todo el mundo a trabajar en formato no presencial.
Actualmente, por diversas razones como la aplicación de vacunas y la disminución de los contagios, se han estado poniendo en marcha diversas modalidades de educación semipresencial, produciendo una gran cantidad de conocimiento sobre el tema.
Esta forma de trabajo, llamada híbrida por algunos especialistas es, sencillamente, la implementación del modelo "blended" que se ha probado previamente bajo diversas circunstancias.
Dado que se trata de un modelo educativo conocido, es recomendable que los profesores conozcan y apliquen las estrategias recomendadas para esta forma de trabajo para aprovechar mejor sus ventajas y subsanar sus desventajas.
El artículo que se encuentra en el siguiente enlace explica, con mucho detalle, las mejores estrategias para poner en operación este modelo.
Otro artículo que plantea recomendaciones específicas para el proceso enseñanza aprendizaje bajo este modelo se encuentra en:
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Trazar la gráfica de una función matemática presenta diferentes grados de dificultad dependiendo de la función que se desea graficar.
Para muchas funciones no es necesario emplear ningún software especializado, con cualquier hoja de cálculo se puede tabular y trazar la gráfica correspondiente, pero en otros casos la complejidad de la función en cuanto a su dominio requiere que se hag uso de otras herramientas.
En esta publicación se recomienda el uso de Desmos, que puede emplearse en línea, directamente en el navegador, o descargarse como aplicación de android o iOS.
El enlace a la página es el siguiente:
https://www.desmos.com/?lang=en
La versión para Android puede descargarse en el siguiente enlace:
https://desmos.uptodown.com/android
La matemática en general, y el cálculo diferencial en particular, son consideradas herramientas para resolver problemas; aunque tienen un valor intrínseco, a la mayor parte de los profesionistas les interesan sus aplicaciones.
La siguiente presentación contiene una explicación de la forma en que se elabora un modelo matemático a partir de un sencillo problema práctico; la fabricación de una caja de cartón a partir de una pieza rectangular de dicho material.
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La aplicación de las fórmulas de derivación sigue un procedimiento relativamente sencillo, solamente debe seguirse la fórmula correspondiente.
En presentaciones anteriores se explica cómo utilizar las fórmulas básicas de derivación, en esta ocasión se emplea un video para comprender la fórmula para derivar el logaritmo natural de una función.
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La elaboración de la tesina es el resultado del trabajo realizado por el alumno en una organización; describe las actividades realizadas y, en el caso de la Universidad Tecnológica se pide que contenga los componentes y estructura señalado en el documento adjunto.
Es conveniente señalar que, al formar parte del sistema de gestión de la calidad de la Universidad, este documento es vigente solamente mientras no sea modificado por el responsable del proceso.
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Como se ha comentado en ejercicios anteriores, como el 2.4 que se encuentra en el siguiente enlace:
http://licmata-math.blogspot.com/2021/06/exercise-24-derivatives-formulae-01.html
El aprendizaje de la matemática requiere de la práctica para el logro de las competencias algorítmicas básicas, por ello, a continuación se propone un ejercicio que contiene 10 problemas para practicar las primeras ocho fórmulas de derivación.
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Un interesante artículo acerca de las transformaciones que la educación ha sufrido por causa de la pandemia de COVID-19 conduce a la posibilidad de que la pedagogía deberá integrar estas nuevas condiciones y desarrollar los fundamentos teóricos de las nuevas formas de trabajo del profesor.
El artículo puede consultarse en el siguiente enlace:
Comienza señalando la magnitud y la fuerza que estas condiciones generaron:
"Mil quinientos millones de estudiantes, según datos de la UNESCO, participaron de diversos modelos de aprendizaje remoto durante el peor momento de pandemia a partir de marzo de 2020. No todos los alumnos tenían acceso a internet, pero algunos sí. Los profesores, en su mayoría sin experiencia en educación no presencial, tuvimos que aprender nuevas formas de trabajo más imaginativa para enfrentar los grandes retos que esta situación generaba."
Es evidente que estas experiencias de los profesores produjeron nuevo conocimiento acerca del aprendizaje de los alumnos y, a partir de dichos nuevos conocimientos habrá espacio para la producción teórica en pedagogía. Es una propuesta interesante y que pone al profesor y a las instituciones ante el dilema de replantear estrategias educativas, rutas metodológicas y técnicas didácticas que, por el momento, carecen de sustento teórico en pedagogía.
Otro artículo que enfatiza la situación que tuvo que ser resuelta por los profesores e encuentra en el siguiente enlace:
https://observatorio.tec.mx/edu-bits-blog/saberes-digitales-para-la-educacion
En esta ocasión el artículo centra su atención en el aprendizaje de tecnologías digitales que el profesor tuvo que llevar a cabo por su cuenta, y poner en operación durante este periodo de poco más de un año de pandemia.
Este enfoque resalta la forma autodidacta que el profesor tuvo que emplear para impartir sus clases con la máxima calidad posible de acuerdo con sus posibilidades, ya que frecuentemente este trabajo se llevó a cabo desde la casa del profesor y con los medios disponibles en el hogar.
Ambos artículos ponen de manifiesto la necesidad de llevar a cabo un proceso de sistematización de la experiencia en el que los conocimientos adquiridos y/o producidos por los profesores puedan estar al alcance del mayor número posible de educadores.
Un tema muy interesante que deberá revisarse y analizarse para diseñar estas estrategias de gestión del conocimiento, capacitación y desarrollo del profesor y apoyo para el profesor.
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Esta presentación es la continuación de otras dos que se encuentran en los siguientes enlaces:
En esta ocasión se aborda la fórmula que se emplea para derivar el producto de dos funciones.
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La mejor forma de aprender matemáticas es practicando, a partir de la comprensión de los algoritmos y procedimientos de solución de problemas, es necesario realizar ejercicios en los que se apliquen los principios estudiados en clase.
El siguiente conjunto de problemas está enfocado en la aplicación de las primeras seis fórmulas de derivación numeradas en el formulario que se encuentra en le siguiente enlace:
https://licmata-formulae.blogspot.com/2020/01/formulario-de-matematicas-2020.html
Se utiliza el NL = Número de Lista y NE = Número de Equipo para que cada alumno resuelva problemas diferentes a sus compañeros.
Es importante agregar las gráficas de cada una de las funciones y sus derivadas.
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Durante muchos años se habló de la importancia que tienen las tecnologías digitales para el aprendizaje, pero muchos profesores, estudiantes y administradores de centros educativos, no le daban mayor importancia, consideraban que era viable seguir trabajando como se había hecho durante casi mil años.
La pandemia por COVID-19 cambió completamente las cosas, aunque todavía escuchamos a diferentes actores del hecho educativo afirmando que "todo volverá a ser como antes". En realidad, no podemos ignorar las ventajas que las tecnologías digitales aportaron a la educación por lo que, a pesar de la fuerte inercia social, los cambios en educación han llegado para quedarse.
Estos cambios serán afectarán en forma diferente dependiendo de las condiciones socioeconómicas y culturales de cada país, pero el cambio es irreversible.
En el siguiente enlace se encuentra un interesante análisis acerca de las transformaciones inducidas por la pandemia.
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La regla de los cuatro pasos es un método que nos permite determinar la pendiente de la recta tangente a una curva en cualquier punto, por ello, el resultado del procedimiento consiste en una expresión algebraica que, al sustituir cualquier valor de equis, nos proporciona la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho valor de equis.
En otras palabras es una forma de derivar con base en la definición de derivada en términos del límite del cociente de los incrementos de equis, ye.
El siguiente documento es un problema resuelto por este método, siguiendo el procedimiento señalado en la presentación que se encuentra en:
http://licmata-math.blogspot.com/2021/06/four-steps-rule.html
Con la finalidad de desarrollar un procedimiento ordenado se presenta la solución en el formato que se encuentra en el siguiente enlace:
http://licmata-math.blogspot.com/2021/06/template-22-four-step-rule.html
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Para esas situaciones se recomienda el uso del triángulo de pascal o, mejor aún, el binomio de Newton,
La siguiente presentación contiene una explicación acerca de la forma en que se aplica el binomio de Newton para elevar un binomio a cualquier potencia.
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El aprendizaje es una actividad colaborativa, sin embargo, sigue siendo muy importante que el alumno sea capaz de enfrentar, por sí mismo, los problemas de la asignatura en estudio.
Para llevar a cabo esta tarea es indispensable que el profesor provea los recursos necesarios, de modo que el esfuerzo del alumno se centre en dominar el tema, y no en buscar materiales adecuados.
Una idea interesante consiste en hacer que el alumno se sienta acompañado, pero sin ninguna intervención de sus acompañantes, esta idea e ha puesto de moda durante la pandemia y recibe el nombre de "gongbang".
El siguiente enlace contiene información acerca de este interesante "recurso":
https://observatorio.tec.mx/edu-news/gongbang-videos-estudia-conmigo
Este nueva tendencia que podría traducirse como "estudia conmigo" ha surgido en Corea del Sur; consiste en la transmisión en vivo y grabación de videos de personas estudiando en diferentes ambientes.
Uno de sus mayores valores es la aplicación de técnicas de estudio como la llamada "Pomodoro" que consiste en trabajar en intervalos fijos de 25 minutos.
Al final de esta entrada se encuentra un ejemplo de estos videos.
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La comprensión de los fundamentos de la derivada es importante para que las aplicaciones de la derivada tengan sentido, de otra forma, solamente estamos aplicando recetas a problemas conocidos.
El formato adjunto tiene por objeto guiar al estudiante en la aplicación de la regla de los cuatro pasos para determinar la pendiente de la recta tangente a una curva en cualquier punto, lo que posteriormente llamaremos derivada.
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En marzo de 2020 se difundió en la Universidad Tecnológica de Torreón que las clases comenzarían a impartirse en línea debido a un problema de salud mundial; la pandemia por COVID-19.
Se recomendó el uso de la plataforma Moodle e incuso se capacitó a los profesores en el uso y manejo de este administrador de cursos en línea... y a trabajar. Fue la reacción inmediata a la necesidad que debía resolverse por lo que algunos profesores optamos por soluciones tecnológicas diferentes como Google Classroom y otras plataformas de gestión de cursos en línea.
Esperábamos que fuera solamente un mes por la emergencia pero este problema se ha extendido por un año completo y actualmente estamos trabajando en forma híbrida; una parte de los alumnos asisten en forma presencial y el resto se conecta a través de MS-TEAMS.
Naturalmente, algunos profesores familiarizados con el uso de tecnologías digitales se adaptaron relativamente bien al cambio mientras otros enfrentaban grandes retos para emplear estas herramientas. De una forma o de otra cada profesor fue resolviendo y gestionando la situación con los recursos que disponía y que mejor correspondían a su forma de trabajo.
Esta experiencia y las reflexiones que sobre ella hacemos los profesores ha producido conocimiento que debe hacerse explícito para compartirlo y, de esta forma, mejorar el desempeño del profesor con base en lo aprendido hasta ahora.
Un interesante artículo acerca de la necesidad de capacitación se encuentra en el observatorio de innovación educativa del ITESM.
En dicho artículo se señala la urgente necesidad de capacitación docente. A continuación el enlace a dicha información.
https://observatorio.tec.mx/edu-news/capacitacion-docente-covid
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La matemática se aprende haciendo matemática, por ello, es indispensable que el alumno practique la resolución de problemas en todas las ramas de dicha disciplina.
El siguiente ejercicio deberá resolverse siguiendo las indicaciones de la presentación que se encuentra en el siguiente enlace:
http://licmata-math.blogspot.com/2021/05/slope-of-tangent-line.html
Con la finalidad de que el trabajo realizado resulte ordenado y cumpla con todas las características requeridas, será necesario resolver cada ejercicio en el Formato 2.1, que se encuentra en:
http://proc-industriales.blogspot.com/2021/06/template-21.html
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El origen del cálculo diferencial ha sido polémico desde la confrontación entre Newton y Leibnitz, y otros matemáticos consideran que no se ha reconocido lo suficiente el gran aporte que hace Fermat a esta rama de la matemática.
En esta presentación se explica, paso a paso, el procedimiento para la obtención de la ecuación de una recta tangente a una curva en forma general; en cualquier punto. Posteriormente se muestra cómo emplear esta técnica para determinar la ecuación de la recta en un punto en particular.
Es muy importante trazar la gráfica.
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Desde 1999, con su famosa investigación denominada; "A hole in the wall", el profesor Sugata Mitra ha estado documentando y compartiendo sus hallazgos a través de diferentes medios.
Los resultados de sus investigaciones conducen a conclusiones que cambiarán la forma en la que entendemos la educación, en el siguiente video nos habla de tres consideraciones fundamentales:
1. La educación mínimamente invasiva produce muy buenos resultados
2. Una parte importante del trabajo del profesor es proveer experiencias motivadoras
3. ¿Cuál es el sentido de la educación?
Es indispensable poner en operación, en la medida de los posible, las recomendaciones del profesor Mitra.
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